Общее уравнение энергии. Общее уравнение баланса энергии

Следуя первому началу термодинамики (закону сохранения энергии), составим баланс энергии в неподвижной системе коор­динат (рис. 2.1), т.е. рассмотрим преобразование энергии в од­ной и той же массе газа, заполнявшей вначале объем 1 - 2, а через бесконечно малый промежуток времени dτ переместив­шейся в положение 1" - 2".

Приращение любого вида энергии равно разности количеств этого вида энергии в положениях 1’ - 2" и 1 - 2. Ввиду того, что заштрихованный объем 1’ - 2 является общим для этих двух положений, приращение энергии измеряется разностью количеств энергии в бесконечно малых объемах 2 - 2" и. 1 - 1" . Отсюда следует, что приращение кинетической энергии равно

здесь dG - массовый расход газа через поперечное сечение струйки за время dτ. Приращение потенциальной энергии (энер­гии положения)

где z 2 и z 1 - высоты расположения (нивелирные уровни) сече­ний 2 и 1, g - ускорение силы тяжести. Приращение внутрен­ней (тепловой) энергии

где U = c v -T - тепловая энергия единицы массы газа (произ­ведение теплоемкости при постоянном объеме на абсолютную температуру). Если теплоемкость газа в сечениях 1 и 2 одина­кова, то прирост внутренней энергии равен

На основания выделенной части струйки газа действуют на­правленные внутрь и по нормали к ним внешние силы давле­ния р. При перемещении газа внешние силы давления произво­дят работу. Например, перенос газа из сечения 1 в сечение 1’ происходит как бы под действием поршня площадью F 1 с дав­лением р 1 . Работа поршня за время dτ равна

Точно так же можно представить себе, что давление р 2 на сече­ние 2 осуществляется поршнем площадью F 2. За время dτ газ переместит поршень в положение 2, производя отрицательную работу

Силы давления, действующие на боковую поверхность струй­ки (поверхность тока), никакой работы не производят, так как они нормальны к траекториям движения частиц газа. Таким об­разом, энергия, внесенная силами давления, равна разности между работами поршня 1 и поршня 2:

К газовой струйке на участке 1 - 2 может быть за время dt подведено тепло в количестве . Далее газовая струйка за время dτ может произвести техническую работу dl, например, приводя во вращение колесо турбины, установленное между се­чениями 1 и 2. Наконец, следует учесть энергию, расходуемую газом за время dτ на преодоление сил трения dl Tp .

Согласно первому началу термодинамики подведенные к газу тепловая энергия и работа сил давления расходуются на со­вершение технической работы, работы сил трения, а также на изменение внутренней энергии

Тогда соотношение (2.11) примет несколько иной вид:

или на основании (2.10)

Используя выражения (2.6), (2.7) и (2.13), можно придать урав­нению энергии следующую форму:

Уравнение энергии (2.14) иногда называют также уравнением теплосодержания. Существенно то обстоятельство, что уравнение теплосодержания не содержит работы трения. По­скольку энергия, расходуемая на преодоление трения или любого другого вида сопротивлений, преобразуется полностью в тепло, а последнее остается в газовой струе, наличие сил трения не может нарушить общий баланс энергии, а лишь приводит к преобразованию одного вида энергии в другой.

Обычно в технике приходится иметь дело с частными фор­мами уравнения теплосодержания. Так, в большинстве случаев изменение потенциальной энергии пренебрежимо мало в срав­нении с другими частями уравнения энергии, и членом g(z 2 - z 1) пренебрегают. Тогда уравнение теплосодержания имеет следую­щий вид:

При отсутствии технической работы и теплообмена с окру­жающей средой, т. е. в случае энергетически изолированного процесса в газе, имеем

В частности, уравнение (2.16) определяет движение газа по трубе, если нет теплопередачи через стенки. Согласно сказанному это уравнение справедливо вне зависимости от того, действуют или нет силы трения. Иначе говоря, изменение теплосодержания (температуры) в энергетически изолированном процессе свя­зано только с изменением скорости. Если скорость газа не ме­няется, то остается постоянной и температура.

Если нет теплообмена, но присутствует техническая работа, то расчет лишь не­много усложнится. Именно:

Когда технической работы нет, уравнение теплосодержания дает

в таком виде оно применяется к теплообменным процессам.

Применительно к энергетически изолированным течениям газа, когда выполняются условия

и уравнение теплосодержания приобретает форму (2.16). Его можно записать следующим образом

Отсюда нетрудно видеть, что если газовую струю затормозить полностью, то теплосодержание газа достигает максимального возможного значения:

Получающееся при этом значение теплосодержания i* называется полным теплосодержанием, а соответствующую абсо­лютная температура

- температурой торможения.

Итак, температура газа получается равной температуре тор­можения в том случае, когда скорость течения уменьшается до нуля при отсутствии энергетического обмена с окружающей сре­дой. Пользуясь средним значением теплоемкости, можно вычис­лить температуру торможения по следующей формуле:

Следует подчеркнуть, что, согласно уравнению энергии (2.20), в энергетически изолированном потоке идеального газа сущест­вует однозначная зависимость между температурой газа Т (теп­лосодержанием i) и скоростью течения w . Повышение скорости в таком потоке всегда сопровождается снижением температуры независимо от изменения других параметров газа.

Уравнение энергии может быть записано в тепловой форме (через энтальпию газа) и в механической форме (через давление газа). Рассмотрим сначала уравнение энергии в тепловой форме для потока массы 1кг/с между двумя произвольными сечениями I и II в условиях обмена работой и теплотой с окружающей (внешней) средой. Условимся внешние работу и теплоту, подводимые к рабочей среде, считать положительным, а отводимые – отрицательными. Согласно закону сохранения энергии, изменение энергии установившегося потока массы газа (в пренебрежении изменением потенциальной энергии положения) должно быть равно сумме работы и теплоты, подведённых извне. Изменение энергии газа на элементарном пути ds складывается из изменения кинетической энергии и изменения энтальпий dh. Соответственно уравнение энергии в дифференциальной форме для турбодетандера имеет вид . В интегральной форме для участка I-II уравнение энергии в тепловой форме для турбодетандера получаем в виде . Здесь – изменения энтальпии и кинетической энергии потока массы газа; – внешняя работа, отведённая через вал от потока; – внешняя теплота, подведённая на участке I-II. Все члены уравнения имеют смысл удельных энергий и размерность джоуль на килограмм, так как характеризуют энергию потока газа 1кг/с. Приток теплоты к потоку массы в общем случае осуществляется двумя путями – извне в количестве и в результате диссипации энергии, т.е. превращения в теплоту работы трения, в количестве . Так что . Уравнение энергии в тепловой форме отражает только внешний поток теплоты, поскольку предполагается, что диссипированная энергия в виде теплоты полностью воспринимается потоком массы. Энергетический уровень потока массы в произвольном сечении рассматриваемого участка удобно характеризовать полной энтальпией, т.е. энтальпией заторможенного потока . Переходя к полным энтальпиям, придадим уравнению энергии следующий вид (уменьшение энтальпии при расширении ). Для адиабатных условий получаем . Из последнего уравнения следует, что в адиабатных условиях изменение энергетического уровня потока массы возможно только в результате обмена работой с внешней средой. При . Полученное уравнение энергии полезно несколько преобразовать, введя в него изоэнтропные разности энтальпий вместо действительных . В связи с этим введём величину , чтобы записать тождество для турбодетандера. Таким образом, есть разность энтальпий в конце действительного и изоэнтропийного процессов расширения газа при давлении в конце рассматриваемого процесса. В общем случае изменение энтальпии на величину является результатом теплообмена с окружающей средой и диссипации энергии . Поэтому . Диссипация энергии и подвод теплоты ведёт к увеличению энтальпии . В адиабатных процессах величина характеризует необратимость процесса, или потери. Как будет показано ниже, в адиабатных процессах, протекающих в турбомашинах, при изменении давления до конечного, т.е. при , выражение и является потерей холода. Используя равенство , можно придать уравнениям энергии несколько иной вид. Для турбодетандеров и его элементов (в условиях подвода теплоты) , где .

Уравнение энергии в механической форме. Запишем уравнение первого закона термодинамики в следующем виде (имея в виду, что ) . Интегрируя это уравнение от до , получаем . Используя это уравнение, следует помнить, что при подводе внешней теплоты к турбодетандеру . Выше было показано, что для идеального газа есть политропная работа расширения потока газа, которая обычно определяется по среднему значению показателя политропы. Диссипированная энергия включает все потери на рассматриваемом участке потока массы. Представляют интерес уравнения, получающиеся при сравнении уравнений энергии в тепловой и в механической формах. Из сравнения этих уравнений получаем следующее обобщенное уравнение Бернулли для расширительной машины, переходя к положительным значениям внешней и политропной работ и изменяя соответственно пределы интегрирования при определении политропной работы, получаем . Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем – в турбомашинах политропная работа расширения потока массы газа равна сумме внешней работы, диссипированной энергии (компенсация потерь) и уменьшению кинетической энергии.

15. Типы рабочих колёс турбодетандера. Уравнение сохранения энергии для рабочего колеса с выходным диффузором турбодетандера.

Сумма слева представляет полную удельную энергию струйки в сечении 1-1, сумма справа – полную удельную энергию струйки в сечении 2-2. Можно записать, что

На практике энергия струйки в начале больше энергии струйки в конце, т.к. часть энергии теряется на преодолении сил вязкости. В процессе движения вязкой жидкости запас ее механической энергии уменьшается, и на самом деле

Обозначим энергию, затрачиваемую на преодоление сил сопротивления E пот. E пот – это та часть механической энергии, которая, вследствие вязкости, переходит в тепловую энергию. Другими словами можно сказать, что E пот – это часть энергии, которая израсходована на преодоление гидравлических сопротивлений.

При выводе уравнения Бернулли для элементарной струйки можно было пренебречь изменением скорости и давления в пределах нормальных сечений благодаря их малым величинам. В потоке жидкости скорости и давления в пределах живых сечений различны, и это необходимо учитывать. Согласно гипотезе Ньютона, жидкость как бы прилипает к стенкам канала, по которому она течет и ее скорость равна нулю. Но с увеличением расстояния от стенки, скорость струек увеличивается. Так называемая мощность потока складывается из энергии отдельных струек

где N – мощность потока; dN – мощность струйки; S – площадь живого сечения потока.

Для мощности струйки можно записать:

dN = Ed = (gz + + ) ρuds ,

где ds – площадь живого сечения струйки.

Величина удельной энергии потока равна частному от деления мощности потока на массовый расход

.

Это уравнение можно разбить на два интеграла

E ==,

где – удельная потенциальная энергия потока относительно выбранной плоскости сравнения; – удельная кинетическая энергия потока.

Для вычисления надо знать закон изменения давления по живому сечению. Для плавноизменяющихся течений ускорения и силы инерции незначительны, поэтому ими можно пренебречь. Экспериментально доказано, что в плавноизменяющемся потоке давления распределяются по закону гидростатистики gz = const .

Для вычисления интеграла нужно знать закон распределения скоростей по сечению. Умножим и поделим это выражение на .

где α – коэффициент, который учитывает неравномерность распределения скоростей в сечении, называется коэффициент Кориолиса . Получаем выражение для удельной кинетической энергии потока:

Полученное уравнение позволяет сделать следующие выводы:

1. При увеличении кинетической энергии потока от одного сечения к другому потенциальная энергия уменьшается, и, наоборот, с увеличением потенциальной энергии, кинетическая уменьшается.

2. Коэффициент α тем больше, чем больше скорости отдельных струек отличаются от величины средней скорости. Если скорости всех элементарных струек будут равны средней скорости, то α = 1.

1) Система уравнений Навье - Стокса и уравнение неразрывности содержат 6 неизвестных: три компоненты вектора скорости плотность давление и коэффициент вязкости Коэффициент вязкости зависит только от температуры и считается обычно заданной функцией абсолютной температуры Г:

Это уравнение содержит новое седьмое неизвестное - абсолютную температуру Абсолютная температура связана с плотностью и давлением уравнением состояния:

В зависимости от характера среды функция имеет ту или иную структуру. В случае газов условимся уравнение состояния брать в форме Клайперона:

где газовая постоянная; в случае несжимаемой жидкости это уравнение заменяется условием

Итак, мы пришли к системе шести скалярных уравнений [три уравнения Навье - Стокса, уравнение неразрывности, уравнения ], которые содержат 7 неизвестных:

Для того чтобы задача могла быть поставлена, необходимо еще одно уравнение.

Таким замыкающим уравнением является уравнение баланса энергии. Будем следить за некоторой массой жидкости, занимающей объем Закон сохранения энергии утверждает, что изменение энергии этой массы жидкости за единицу времени равно мощности внешних сил, притоку энергии извне и мощности внутренних источников энергии:

Энергия массы жидкости состоит из двух слагаемых: кинетической энергии, т. е. энергии макроскопического движения частиц

Внутренней энергии, т. е. энергии теплового движения молекул газа или жидкости.

Для газов в общем случае выражение имеет довольно сложную структуру. Мы рассмотрим только случай «совершенного газа», т. е. газа, внутренняя энергия которого определяется только поступательным движением молекул. Это значит, что энергия вращательных степеней свободы молекул пренебрежимо мала по сравнению с энергией поступательного движения. Для этого случая термодинамика дает выражение

где теплоемкость газа при постоянном объеме, связанная с теплоемкостью при постоянном давлении формулой

величина «механический эквивалент тепла» Работа внешних сил складывается из работы массовых сил и работы поверхностных сил

где скорость движения жидких частиц, поверхность, ограничивающая объем

Будем считать, что приток энергии извне происходит только за счет теплопроводности. Тогда, согласно закону Фурье, количество теплоты, поступившее через поверхность в единицу времени (в механических единицах), определяется формулой

где коэффициент теплопроводности.

Подставляя в уравнение (35 выражения (36, (37) и (39) -(41), мы можем написать следующее (упрощенное) уравнение баланса энергии:

3) Уравнение - это уравнение баланса энергии в интегральной форме; для того чтобы получить дифференциальное уравнение, надо еще провести ряд преобразований. Прежде всего, заметим, что

(Эти преобразования являются прямым следствием уравнения неразрывности Далее преобразуем интегралы по поверхности, входящие в правую часть уравнения , в интегралы по объему. Прежде всего

Применив к этому интегралу формулу Гаусса - Остроградского, после очевидных вычислений получим

Аналогично преобразуем последнее слагаемое в уравнении

Используя формулы , преобразуем уравнение к виду

откуда, в силу произвольности объема получим следующее дифференциальное уравнение:

4) В уравнении (47) надо заменить компоненты тензора напряжений следующими выражениями:

Используя эти формулы и тождественное преобразование

где мы можем уравнению придать следующий вид:

5) Итак, мы получили уравнение, которое замыкает систему уравнений динамики жидкости и газа. Это уравнение можно было бы назвать обобщенным уравнением теплопроводности, поскольку уравнение распространения тепла содержится в нем как некоторый частный случай. В самом деле, предположим, что жидкость покоится; тогда уравнение (49) будет иметь вид

Если перепад температур мал, то коэффициент к можно считать независимым от координат и мы приходим к известному уравнению теплопроводности

где коэффициент носит название коэффициента температуропроводности.

Уравнение (50) описывает распространение тепла в покоящейся жидкости за счет механизма теплопроводности. Этот механизм обеспечивает мгновенную скорость распространения тепловых возмущений (см. рис. 5). Предположим, что частице жидкости, находящейся в момент времени в точке х, мы сообщили импульсное возмущение где - дельта-функция, равная нулю всюду, кроме точки и такая, что Тогда распределение температуры в любой момент времени описывается формулой

Мы видим, что каково бы ни было значение абсциссы в любой момент отличный от нуля, температура будет также отлична от нуля.

6) Рассуждения, которые были здесь проведены, относились к случаю покоящейся жидкости, причем молчаливо предполагалось, что если в начальный момент жидкость покоилась, то она будет покоиться и в последующие моменты времени. Это, вообще говоря, не так. В самом деле, если температура изменится, то, согласно уравнению состояния, изменятся плотность и давление, что в свою очередь вызовет движение жидкости. Таким образом, изменение температуры среды вызывает движение жидкости. Задачи распространения тепла и задачу о движении жидкости следует рассматривать совместно. Только в одном частном случае эти задачи могут быть разделены - в случае несжимаемой жидкости при предположении, что коэффициент вязкости не зависит от температуры. Тогда и задача о движении жидкости сводится к решению уравнения неразрывности

и уравнения Навье-Стокса

Определив из этих уравнений вектор и скаляр мы затем сможем определить поле температур из уравнения , которое в этом случае примет вид

7) Из уравнения (54) видно, что, помимо механизма теплопроводности, в распространении тепла играет роль конвективный перенос тепла - перенос за счет движения частиц жидкости. Поэтому тепловые возмущения могут распространяться также и внутри жидкости, лишенной теплопроводности Для того чтобы это пояснить, рассмотрим задачу о движении идеального нетеплопроводного газа, когда уравнение (49) принимает вид

Закон сохранения энергии. Энергетический баланс. Энергия, работа, тепло. Внутренняя энергия, потенциальная энергия, кинетическая энергия.

Уравнение Бернулли для газа. Уравнение энтальпии. Адиабатное течение. Энергоизолированное течение. Изоэнтропное течение.

Энергоизолированное изоэнтропное течение.

Изучение основных уравнений и зависимостей , применяемых в газовой динамике , удобно провести сначала для элементарной струйки или одномерного потока , а затем распространить их на более сложные виды движения.

Большое значение в газовой динамике имеет закон сохранения энергии . Он, как известно, констатирует тот факт, что

энергия не возникает и не исчезает, а только превращается из одного вида в другой .

Следовательно, составив баланс энергии для какого-нибудь количества газа, например, для единицы массы , можно найти соотношение между различными составляющими энергии. Такая математическая запись энергетического баланса и представляет собой уравнение энергии .

Составление баланса энергии рассмотрим на примере газотурбинной установки , схема которой изображена на рисунке 6 .

Через входное сечение 1 воздух из атмосферы поступает в компрессор, где сжимается и подается в камеру сгорания. Туда же, в камеру сгорания, поступает жидкое топливо, которое, смешавшись с воздухом, сгорает, выделяя большое количество тепла . Таким образом, в турбину из камеры сгорания поступают образовавшиеся там продукты сгорания с высокой температурой и высоким давлением. В турбине они расширяются, производя работу - вращая ротор. Часть работы турбины при помощи вала передается на вращение компрессора, другая часть отдается потребителю. Отработанные газы покидают турбину, выходя через сечение 2.

Энергия поступающего воздуха, отнесенная к единице массы , обозначена Е 1 , энергия выходящего газа - Е 2 .

Подведенное тепло обозначено Q е. Индекс «е » означает, что тепло подводилосьизвне (externus – лат. внешний , посторонний ).

Здесь нет никакого противоречия: несмотря на то, что сгорание происходило внутри камеры и тепло, подогревающее газ, выделялось именно там, энергия эта была внесена снаружи в скрытом виде, вместе с топливом. Следовательно, поскольку не ставится задача изучения физико-химических процессов горения, а рассматриваются только явления газодинамического характера, то можно считать, что тепло в количестве Q е было внесено в камеру сгорания снаружи.

Работа на валу установки , отданная потребителю, обозначена L. Она также отнесена к единице массы проходящего через установку воздуха.

На рисунке 7 изображена упрощенная схема течения . На расчетном участке между сечениями 1 и 2 , так же как и в предыдущем случае, подводится тепло и отводится механическая работа . Следовательно, для упрощенной схемы баланс энергии будет таким же, как и для газотурбинной установки , но пользоваться этой схемой проще и удобнее.

Баланс энергии для рассматриваемой схемы течения можно записать следующим уравнением:

Е 1 - Е 2 + Q е - L = 0. (2.1)

Далее необходимо расшифровать, что подразумевается под полным запасом энергии единицы массы газа Е. При этом нужно иметь в виду, что в «полный запас энергии» нет надобности включать все ее составляющие (например, химическую, электрическую, внутриядерную); вполне достаточно принимать в расчет только те ее виды, которые могут превращаться один в другой в пределах изучаемых газодинамических задач. Тогда можно записать, что

E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz, (2.2)

где u – внутренняя энергия единицы массы газа;

p/ρ – потенциальная энергия давления единицы массы газа;

w 2 /2 – кинетическая энергия единицы массы газа;

gz– потенциальная энергия положения (уровня) единицы массы газа;

z – геометрическая высота ;

g – ускорение силы тяжести .

Все указанные величины измеряются в единицах работы на единицу массы , а именно в дж/кг или, что то же самое, в м 2 /сек 2 (в системе СИ).

Подставив в уравнение (2.1) значения Е 1 и Е 2 , выраженные с помощью уравнения (2.2), и учитывая, что разность внутренних энергий u 1 – u 2 = C v (T 1 -Т 2) , получим

C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 +(w 1 2 - w 2 2)/2+g(z 1 -z 2) +Q е -L=0. (2.3)

Это и есть уравнение энергии для одномерного потока или для элементарной струйки . Оно показывает, как происходит изменение внутренней энергии C v (T 1 -Т 2) , потенциальной энергии давления p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 , кинетической энергии (w 1 2 - w 2 2)/2, потенциальной энергии положения g(z 1 -z 2) в результате действия подведенного извне тепла Q е и работы L , отданной газом внешнему потребителю. Изменение внутренней энергии связано с изменением температуры газа, кинетической энергии - с изменением скорости потока, потенциальной энергии уровня - с изменением высоты положения рассматриваемой массы газа над плоскостью, принятой за начало отсчета. Что касается изменения потенциальной энергии давления , то оно требует специальных разъяснений.

На рисунке 8 изображен расчетный участок потока, ограниченный на входе сечением 1 и на выходе - сечением 2.

При входе газа через сечение 1 силы внешнего давления р 1 F 1 , вталкивая в расчетный, участок объем газа F 1 Δx 1 , совершают работу p 1 F 1 Δx 1 .

При выходе из расчетного участка, через сечение 2 объем газа F 2 Δx 2 совершает работу против сил внешнего давления p 2 F 2 Δх 2 . Поделив эти работы на массу газа в соответствующих объемах, получим

L вт = p 1 F 1 Δx 1 / ρ 1 F 1 Δx 1 = p 1 /ρ 1 ,

L выт = p 2 F 2 Δx 2 / ρ 2 F 2 Δx 2 = p 2 /ρ 2.

Следовательно, p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 =L вт -L выт представляет собой разницу работ вталкивания и выталкивания единицы массы газа. Эта величина характеризует накопление (если p 1 /ρ 1 >p 2 /ρ 2 ) потенциальной энергии давления или расходование ее (если p 1 /ρ 1

) потоком газа, находящимся внутри расчетного участка.